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The infrastructure of a global field and baby step-giant step algorithms


Fontein, F. The infrastructure of a global field and baby step-giant step algorithms. 2009, University of Zurich, Faculty of Science.

Abstract

In der konstruktiven Zahlentheorie ist man unter anderem an der Berechnung von Invarianten interessiert.
Eine solche Invariante ist der Regulator eines Zahlkörpers oder eines globalen Funktionenkörpers. Der Regulator ergibt sich aus dem Einheitengitter, wessen Struktur sich wiederum in der Struktur der sogenannten Infrastruktur widerspiegelt.
In dieser Dissertation wird die Infrastruktur auf den n-dimensionalen Fall verallgemeinert; bisher wurde vor allem der eindimensionale Fall untersucht. Dafür verallgemeinern wir f-Repräsentationen und erhalten über diese eine Reduktionsabbildung. Weiterhin wird der Bezug zur (Arakelov-)Divisorklassengruppe hergestellt und diese mit Hilfe der f-Repräsentationen beschrieben. Dies erlaubt sowohl explizite Arithmetik in der Divisorklassengruppe als auch die Berechnung von sogenannten Giant Steps in der Infrastruktur. Dies erweitert insbesondere Arbeiten von J. Buchmann und R. Schoof im Zahlkörperfall und eine Arbeit von S. Paulus und H.-G. Rück im Funktionenkörperfall.
Wir diskutieren weiterhin eine Implementation der Berechnung von sogenannten Boxen im Funktionenkörperfall, und beschreiben, wie diese zur Berechnung von Giant Steps und Baby Steps verwendet werden kann.
Weiterhin stellen wir bereits existierende Algorithmen zur Berechnung des Einheitengitters und somit des Regulators vor. Wir präsentieren zwei Ansätze im Funktionenkörperfall: der eine Ansatz nutzt Algorithmen zur Berechnung der Struktur einer endlichen abelschen Gruppe, im Fall dass der Funktionenk¨orper eine unendliche rationale Stelle hat, und der andere Ansatz nutzt ein Hebeverfahren zur Reduktion auf den Fall einer unendlichen rationalen Stelle. Schliesslich erweitern wir den Baby-Step-Giant-Step-Algorithmus von J. Buchmann für Zahlkörper auf den Fall eines allgemeinen globalen Körpers und kombinieren ihn mit einer Optimierung des klassischen Baby-Step-Giant-Step-Algorithmus’ von D. Terr.

Abstract

In der konstruktiven Zahlentheorie ist man unter anderem an der Berechnung von Invarianten interessiert.
Eine solche Invariante ist der Regulator eines Zahlkörpers oder eines globalen Funktionenkörpers. Der Regulator ergibt sich aus dem Einheitengitter, wessen Struktur sich wiederum in der Struktur der sogenannten Infrastruktur widerspiegelt.
In dieser Dissertation wird die Infrastruktur auf den n-dimensionalen Fall verallgemeinert; bisher wurde vor allem der eindimensionale Fall untersucht. Dafür verallgemeinern wir f-Repräsentationen und erhalten über diese eine Reduktionsabbildung. Weiterhin wird der Bezug zur (Arakelov-)Divisorklassengruppe hergestellt und diese mit Hilfe der f-Repräsentationen beschrieben. Dies erlaubt sowohl explizite Arithmetik in der Divisorklassengruppe als auch die Berechnung von sogenannten Giant Steps in der Infrastruktur. Dies erweitert insbesondere Arbeiten von J. Buchmann und R. Schoof im Zahlkörperfall und eine Arbeit von S. Paulus und H.-G. Rück im Funktionenkörperfall.
Wir diskutieren weiterhin eine Implementation der Berechnung von sogenannten Boxen im Funktionenkörperfall, und beschreiben, wie diese zur Berechnung von Giant Steps und Baby Steps verwendet werden kann.
Weiterhin stellen wir bereits existierende Algorithmen zur Berechnung des Einheitengitters und somit des Regulators vor. Wir präsentieren zwei Ansätze im Funktionenkörperfall: der eine Ansatz nutzt Algorithmen zur Berechnung der Struktur einer endlichen abelschen Gruppe, im Fall dass der Funktionenk¨orper eine unendliche rationale Stelle hat, und der andere Ansatz nutzt ein Hebeverfahren zur Reduktion auf den Fall einer unendlichen rationalen Stelle. Schliesslich erweitern wir den Baby-Step-Giant-Step-Algorithmus von J. Buchmann für Zahlkörper auf den Fall eines allgemeinen globalen Körpers und kombinieren ihn mit einer Optimierung des klassischen Baby-Step-Giant-Step-Algorithmus’ von D. Terr.

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Item Type:Dissertation
Referees:Rosenthal J, Brodmann M
Communities & Collections:07 Faculty of Science > Institute of Mathematics
Dewey Decimal Classification:510 Mathematics
Language:English
Date:2009
Deposited On:08 Dec 2009 07:39
Last Modified:05 Apr 2016 13:36
Number of Pages:146
Additional Information:The infrastructure of a global field and baby step-giant step algorithms / von Felix Wolfgang Fontein. - Zürich, 2009. ZB (Zürich) | UnS 2009: 663 | Magazin 05 - auf BestellungZB (Zürich)
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