Abstract
Abstract The main objects of study of this thesis are Q-curves. The first chapter is devoted to giving an introduction to the theory of modular and strongly modular elliptic curves over Q. We will review the fundamental work of Ribet on Q-curves as quotients of abelian varieties of GL2 -type and that of Guitart and Quer which characterize strongly modular elliptic curves. In the second chapter we address the following problem: given a quadratic Q-curve E completely defined over a quadratic field K, how can one prove that L(E, 1) = 0, when this is the case? The answer will be given by exhibiting, under the generalized Manin conjecture, an effective integer Q, depending on E and on the choice of an invariant differential ωE on E, such that L(E, 1) · Q · |∆K |/ΩE is an integer. Here ∆K is the discriminant of K and ΩE is a quantity related to the infinite part of the period of E. An important ingredient is an algorithm to compute a newform f of level Γ1 (N ) such that L(E, s) = L(f, s)L(σf, s), for σf the unique Galois conjugate of f . The third chapter is dedicated to studying strongly modular twists of Q-curves. In the first part, we find necessary and sufficient conditions for the existence of strongly modular twists of quadratic Q-curves over their minimal field of complete definition. We also show how to characterize completely primitive twists, which are elliptic curves not isogenous to the base change of a curve over a smaller field. In the second part, we prove that a Q-curve is geometrically isomorphic to a strongly modular one if and only if it is geometrically isomorphic to a Q-curve whose minimal field of complete definition is abelian over Q. Finally, in chapter four we study a different problem. A classical theorem, originally due to Mertens and Cesàro (independently), states that the natural density of the set of coprime m-tuples of integers is 1/ζ(m), where ζ(s) is the Riemann zeta function. Given a number field K with ring of integers O, we introduce a notion of density (depending on the choice of a Z-basis for O) for subsets of O which generalizes the notion of natural density for subsets of Z. We then show that the density of the set of coprime m-tuples of algebraic integers in O is 1/ζK (m), where ζK (s) is the Dedekind zeta function of K. In particular, the density of this set does not depend on the choice of a Z-basis for O.
Zusammenfassung
Die Hauptobjekte dieser Dissertation sind Q-Kurven. Das erste Kapitel gibt eine Einführung in die Theorie der modularen und streng modularen elliptischen Kurven über Q. Darin gehen wir auf das fundamentale Werk Ribets über Q-Kurven als Quotienten abelscher Varietäten des Typs GL2 ein, und auf dasjenige Guitart und Quers, welches streng modulare elliptische Kurven charakterisiert. Im zweiten Kapitel beschäftigen wir uns mit dem folgenden Problem: Sei E eine quadratische Q-Kurve, welche über einem quadratischen Feld K vollständig definiert ist. Wie kann man beweisen, dass L(E, 1) = 0, falls das der Fall ist? Wir geben eine Antwort auf diese Frage, indem wir, mit Hilfe der verallgemeinerten Manin Vermutung, eine effektive ganze Zahl Q finden, welche von E und der Wahl eines invarianten Differentials ωE auf E abhängt, so dass L(E, 1)·Q· |∆K |/ΩE eine ganze Zahl ist. Hierbei ist ∆K die Diskriminante von K und ΩE eine Grösse, die mit dem unendlichen Teil der Periode von E zusammenhängt. Ein wichtiger Bestandteil in diesem Prozess ist ein Algorithmus, um eine Neuformen f zum Level Γ1 (N ) zu berechnen, so dass L(E, s) = L(f, s)L(σf, s), wobei σf das eindeutige Galois-Konjugierte von f ist. Das dritte Kapitel ist dem Studium streng modularer Twists von Q-Kurven gewid- met. Im ersten Teil finden wir nötige und hinreichende Bedingungen für die Existenz von streng modularen Twist quadratischer Q-Kurven über dem Minimalkörper vollständiger Definition. Desweiteren zeigen wir, wie man primitive Twists charakterisiert, also elliptische Kurven, die nicht isogen zum Basiswechsel einer Kurve über einem kleineren Körper sind. Im zweiten Teil beweisen wir, dass eine Q-Kurve genau dann geometrisch isomorph zu einer modularen Kurve ist, wenn sie geometrisch isomorph zu einer Q- Kurve ist, dessen Minimalkörper vollständiger Definition abelsch über Q ist. In Kapitel vier untersuchen wir schliesslich ein anderes Problem. Ein klassisches Theorem, welches auf Mertens und Cesàro (unabhängig voneinander) zurückgeht, besagt, dass die natürliche Dichte der Menge der teilerfremden m-Tupel ganzer Zahlen 1/ζ(m) ist, wobei 1/ζ(s) die Riemannsche Zeta-Funktion ist. Für einen Zahlenkörper K mit Einheitenring O führen wir den Begriff einer (von der Wahl einer Z-Basis von O abhängigen) Dichte von Teilmengen von O ein, welcher den Begriff der natürlichen Dichte von Teilmengen von Z verallgemeinert. Wir zeigen dann, dass die Dichte der Menge der teilerfremden m-Tupel algebraischer Zahlen in O 1/ζK (m) ist, wobei ζK (s) die Dedekindsche Zeta-Funktion von K ist. Insbesondere hängt die Dichte dieser Menge nicht von der Wahl einer Z-Basis von O ab.
Ferraguti, Andrea