Abstract
The main goal of this thesis is the development of a new finite element method for the discretization of elliptic partial differential equations in heterogeneous media. The efficient numerical modelling of such problems is of fundamental importance since they arise in many applications such as diffusion in composite materials or porous media. The challenge of modelling heterogeneous materials is that they usually have a complex structure. Often they contain complicated and/or tiny inclusions which are distributed randomly. Hence, the solution of such problems is in general non-smooth and for instance it possibly exhibits high oscillations at different length scales. Thus piecewise polynomial functions cannot resolve the essential features of the solution unless the mesh size is chosen small enough. Therefore classical polynomial-based finite element methods applied to such problems become prohibitively expensive and are not appropriate. Especially for three-dimensional problems the computational cost gets too large. In order to overcome this problem many types of generalized finite element methods have been developed in recent years. These methods construct trial functions incorporating the physical behaviour of the solution. Thus the geometric details of the material do not have to be resolved by the mesh and the problem can be discretized by a relatively coarse mesh. The aim is the development of methods preserving the asymptotic convergence rates. This thesis is concerned with the development of a fully discrete adaptive local (AL) basis whose construction is based on a partition of unity approach. The computational domain is covered by a finite number of overlapping patches. On each patch local approximation spaces are set up by employing a discretization of the local solution operator on a fine mesh. Finally these local approximation spaces are approximated by applying an L2 -orthogonal projection onto low-dimensional spaces. A complete error analysis of the method for L∞ -coefficients is developed and convergence results are given. It is shown that the linear convergence property is satisfied. The error analysis is based on some new results concerning the W 1,p -regularity of the Poisson problem. These results are also presented in this thesis. Bounds for the gradient of the solution in the Lp -norm are derived and it is shown that they only depend on the size of the jumps in the coefficients. These regularity results can also be applied to various other problems.
Das Hauptziel der vorliegenden Dissertation ist die Entwicklung einer neuen Finite- Elemente-Methode zur Diskretisierung von elliptischen partiellen Differentialglei- chungen in heterogenen Medien. Die effiziente numerische Modellierung solcher Probleme ist von grosser Bedeutung, da sie in vielen Anwendungen wie z. B. bei der Diffusion in Verbundwerkstoffen oder porösen Medien auftreten. Die Schwierigkeit beim Modellieren von heterogenen Materialien besteht darin, dass diese meist eine komplexe Struktur besitzen. Oft enthalten sie komplizierte und/oder winzige Einschlüsse, die sehr kompliziert verteilt sein können. Die Lösung solcher Probleme ist also im Allgemeinen nicht glatt und kann beispielsweise starke Oszillationen auf unterschiedlichen Längenskalen aufweisen. Somit können stückweise Polynome die wesentlichen Eigenschaften der Lösung nur auflösen, wenn die Maschenweite klein genug gewählt wird. Deshalb sind klassische polynomiale Finite-Elemente- Methoden für solche Probleme ausserordentlich teuer und somit nicht geeignet. Besonders für dreidimensionale Probleme wird der Rechenaufwand zu gross. Um dieses Problem zu umgehen, wurden in den letzten Jahren viele Arten von verallgemeinerten Finite-Elemente-Methoden entwickelt. Bei diesen Methoden werden Ansatzfunktionen konstruiert, welche das physikalische Verhalten der Lösung berücksichtigen. Dadurch müssen die geometrischen Details des Materials nicht vom Gitter aufgelöst werden und das Problem kann auf einem relativ groben Gitter diskretisiert werden. Ziel ist es, Methoden zu entwickeln, für die die asymptotischen Konvergenzraten bereits für „grobe“ Diskretisierungen sichtbar sind. Diese Dissertation befasst sich mit der Entwicklung einer volldiskreten adaptiven lokalen (AL) Basis, deren Konstruktion auf einem Ansatz der Zerlegung der Eins basiert. Das Rechengebiet wird mit einer endlichen Anzahl von überlappenden Patchs bedeckt. Auf jedem Patch werden lokale Approximationsräume konstruiert, indem der lokale Lösungsoperator auf einem feinen Gitter diskretisiert wird. Schliesslich werden diese lokalen Approximationsräume mit einer L2-Orthogonal- projektion auf einen niedrigdimensionalen Raum approximiert. Es wird eine vollständige Fehleranalyse der Methode für L∞-Koeffizienten entwick- elt und es werden Konvergenzresultate bewiesen. Es wird gezeigt, dass die lineare Konvergenzeigenschaft erfüllt ist. Der Fehleranalyse liegen unter anderem neue W 1,p -Regularitätsresultate des Poissonproblems zugrunde. Diese Resultate werden ebenfalls in dieser Dissertation präsentiert. Es werden Schranken für den Gradient der Lösung in der Lp-Norm hergeleitet und es wird gezeigt, dass diese nur von der Grösse der Sprünge in den Koeffizienten abhängen. Diese Regularitätsresultate können auch auf verschiedene andere Probleme angewandt werden.
Weymuth, Monika