Abstract
In der vorliegenden Arbeit werden konkrete Abschätzungen von Distanzen zwischen Punktprozessverteilungen in verschiedenen Poissonprozess-Approximationsproblemen präsentiert. Die Metrik, die wir dabei hauptsächlich benutzen, ist die Wassersteinmetrik d2, die in Barbour und Brown (1992) [Stochastic Process. Appl. 43, 9-31] eingeführt und seither in verschiedenen Studien verwendet wurde. Ein erster Schwerpunkt dieser Doktorarbeit ist die Bereitstellung umfassender Informationen über die d2-Metrik, sowohl hinsichtlich ihrer theoretischen Eigenschaften, als auch ihrer angewandteren Aspekte. Zum Teil werden dazu Resultate aus der Literatur zusammengetragen und Beweise nachgeliefert, wo diese bisher gefehlt haben, zum Teil werden neue Resultate hinzugefügt, die bisher nicht veröffentlicht zu sein scheinen. Das Hauptthema ist dann die konkrete Evaluation der d2-Distanzen in Situationen, die im wesentlichen denen von gewissen Poissonprozess-Grenzwertsätzen entsprechen. Unsere hauptsächlichen Approximationsszenarien betreffen Punktprozesse, die entweder durch gewisse lineare Streck-stauch-Transformationen modifiziert werden, oder durch Verdünnungen, die von Kontraktionen des Raumes begleitet sind, oder durch Superpositionen, mit denen ein Verfahren einhergeht, das die Punktprozesse spärlicher werden lässt. Die meisten der Distanzabschätzungen werden auf direkte oder indirekte Weise mittels der Steinschen Methode erhalten. Als Voraussetzung zum Lesen dieser Dissertation genügen elementare Kenntnisse in masstheoretisch fundierter Wahrscheinlichkeitstheorie.
In the present work, concrete estimates of distances between point process distributions are presented for various Poisson process approximation problems. As our main metric for this purpose the Wasserstein metric d2 is used, which was introduced in Barbour and Brown (1992) [Stochastic Process. Appl. 43, 9-31] and has since then been applied in several studies. A first focal point of this thesis is to provide comprehensive information about the d2- metric with regard to its theoretical properties, as well as its more applied aspects. We partly gather results from various sources in the literature, supplying formal proofs where these were previously missing, and partly add new results that do not seem to be published so far. The main emphasis rests then on evaluating the d2-distances for settings that essentially correspond to those of certain Poisson process limit theorems. Our main approximation situations concern point processes subjected to certain linear stretch- contract transformations, to random thinnings that are accompanied by contractions of the space, and to superpositions that are accompanied by a mechanism that makes the point processes sparser. Most of the distance bounds are derived either directly or indirectly by means of Stein's method. As a prerequisite for reading this thesis, elementary knowledge of measure theoretically founded probability theory is sufficient.
Schuhmacher, Dominic