Abstract
Zusammenfassung Die Behauptung, dass das Spin-Glass-Verhalten mit hierarchischer Organisation des Konfigurationsraums verbunden sei, die sogenannte „Ultrametrizität-Vermutung“, ist nur eine jener verblüffenden Vorhersagen der Parisi-Theorie, die trotz Jahrzehnten intensiver Forschung mathematisch noch nicht geklärt sind. In dieser Doktorarbeit werden Modelle für Spin-Gläser eingeführt, bei welchen die Ultrametrizität mathematisch rigoros untersucht werden kann.
Im ersten Kapitel befassen wir uns mit einer nicht-hierarchischen Verallgemeinerung des sogenannten Generalized Random Energy Model. Im zweiten Kapitel untersuchen wir ein Modell, welches aus einem Random Energy Model, und einem sogenannten Cavity Field besteht. Um Modelle mit komplexeren, GREM-artigen Abhängigkeitsstrukturen untersuchen zu können, versuchen wir im dritten und letzten Kapitel die Reichweite unseres Leitbildes zu erweitern. Jedoch nur teilweise mit Erfolg: obwohl es uns gelungen ist, das Problem auf der Stufe der Freien Energie zu lösen, konnten wir das Verhalten des Gibbs-Masses nicht enträtseln.
Abstract The claim that Spin Glass behavior comes along with hierarchical organization of the configuration space is often referred to as the „ultrametricity conjecture“. It is one of those striking predictions of the Parisi Theory for Spin Glasses which remains, despite decades of intensive research, mathematically very poorly understood. In this thesis we introduce some mean field models for Spin Glasses where the issue of ultrametricity can be addressed in complete mathematical rigor.
In the first chapter we consider natural, nonhierarchical extensions of the Generalized Random Energy Model, GREM for short. In the second chapter we introduce and solve a system obtained by a cavity field perturbation of the simplest Derrida’s model, the REM. In order to cover systems with more intricate dependencies, in particular of GREM-type, we push the abstract approach a bit further in the third chapter. Quite an endeavour: though we settle the problem at the level of the free energy (providing an unexpected interpretation for the Order Parameter of the Parisi Theory), we were not able to settle the issue at the level of the Gibbs measure.
Kistler, Nicola