Header

UZH-Logo

Maintenance Infos

Trace functor and categorified quantum sln


Guliyev, Zaur. Trace functor and categorified quantum sln. 2017, University of Zurich, Faculty of Science.

Abstract

M. Khovanov and A. Lauda [35] define a 2-category U such that the split Grothendieck group \(K_0\)(U) is isomorphic to an integral version of the universal enveloping algebra U(\(sl_n\)), n ≥ 2. The trace Tr is a decategorification functor that is an alternative to the usual decategorification given by \(K_0\). We compute the trace TrU using the diagrammatic presentation of U. We find a graded algebra homomorphism between TrU and the current algebra U(\(sl_n\)[t]), which is the universal enveloping algebra of the Lie algebra \(sl_n\) ⊗ C[t]. More recently, this homomorphism is proven to be an isomorphism in [5]. Thus, TrU has a richer structure than \(K_0\)(U) = U(\(sl_n\)). A 2-representation is a categorification of the notion of a representation. In particular, a 2-representation of U is a 2-functor from U to a linear, additive 2-category. Our next result provides a framework on how to get a current algebra module from any 2-representation of U. We are interested in the 2-representation, defined by Khovanov-Lauda using bimodules over cohomology rings of flag varieties. This 2-representation induces an action of the current algebra U(\(sl_n\)[t]) on the cohomology rings. We explicitly compute the action of U(\(sl_n\)[t]) generators using the trace functor. It turns out that the obtained current algebra module is related to another family of U(\(sl_n\)[t])-modules, called local Weyl modules. Using known results about the cohomology rings, we are able to provide a new proof of the character formula for the local Weyl modules. Finally, we apply the trace functor to the Bao-Shan-Wang-Webster [2] categorification \(U^J\) of the coideal subalgebra of quantized \(sl_2n+1\). We compute the trace of the 2-category \(U^J\) in this thesis. We define a new algebra, called the current coideal algebra, and we show that Tr\(U^J\) is homomorphic to the current coideal algebra.

M. Khovanov and A. Lauda [35] definieren eine 2-Kategorie U, so dass die geteilte Grothendieck-Gruppe \(K_0\)(U) zu einer integralen Version der universellen einhüllenden Algebra U(\(sl_n\)), n ≥ 2 isomorph ist. Die Spur Tr ist eine Alternative zu dem De-kategorisierungsfunktor, normalerweise gegeben durch \(K_0\). Wir berechnen TrU mithilfe der diagrammatischen Präsentation von U. Wir finden einen graduierten Algebra-Homomorphismus zwischen TrU und der Stromalgebra U(sln[t]), welche die universelle einh üllende Algebra der Lie-Algebra U(\(sl_n\) ⊗ C[t]) ist. Kürzlich wurde in [5] bewiesen, dass dieser Homomorphismus sogar einen Isomorphismus darstellt. Somit hat TrU eine reichere Struktur als \(K_0\)(U) = U(\(sl_n\)). Eine 2-Darstellung ist eine Kategorisierung des Begriffs der Darstellung. Insbesondere ist eine 2-Darstellung von U ein 2-Funktor aus U in eine lineare, additive 2-Kategorie. Unser nächstes Ergebnis stellt einen Rahmen dar, um aus einer beliebigen 2-Darstellung ein Stromalgebra-Modul zu erhalten. Wir interessieren uns für die 2-Darstellung, definierte von Khovanov-Lauda durch Bimoduln über Kohomologien der Fahnenmannigfaltigkeiten. Diese 2-Darstellung induziert eine Wirking der Stromalgebra U(\(sl_n\)[t])) auf die Kohomologieringe. Wir berechnen die explizite Stromalgebrawirkung durch den Spurfunktor. Es wird festgestellt, dass der erhaltene Stromalgebramodul sich auf eine andere Familie von U(\(sl_n\)[t])-Moduln bezieht, bekannt als lokale Weyl-Moduln. Mithilfe bekannter Ergebnisse geben wir einen neuen Beweis der Charakterformeln von lokalen Weyl-Moduln. Schliesslich wenden wir den Spurfunktor auf die Bao-Shan-Wang-Webster Kategorisierung [2] \(U^J\) der koidealen Unteralgebra der quantisierten Lie-Algebra \(sl_2n+1\) an. Wir berechnen die Spur der 2-Kategorie \(U^J\) in dieser Arbeit. Wir definieren eine neue Algebra, als koideale Stromalgebra genannt, und wir zeigen, dass Tr\(U^J\) homomorph zu der koidealen Stromalgebra ist.

Abstract

M. Khovanov and A. Lauda [35] define a 2-category U such that the split Grothendieck group \(K_0\)(U) is isomorphic to an integral version of the universal enveloping algebra U(\(sl_n\)), n ≥ 2. The trace Tr is a decategorification functor that is an alternative to the usual decategorification given by \(K_0\). We compute the trace TrU using the diagrammatic presentation of U. We find a graded algebra homomorphism between TrU and the current algebra U(\(sl_n\)[t]), which is the universal enveloping algebra of the Lie algebra \(sl_n\) ⊗ C[t]. More recently, this homomorphism is proven to be an isomorphism in [5]. Thus, TrU has a richer structure than \(K_0\)(U) = U(\(sl_n\)). A 2-representation is a categorification of the notion of a representation. In particular, a 2-representation of U is a 2-functor from U to a linear, additive 2-category. Our next result provides a framework on how to get a current algebra module from any 2-representation of U. We are interested in the 2-representation, defined by Khovanov-Lauda using bimodules over cohomology rings of flag varieties. This 2-representation induces an action of the current algebra U(\(sl_n\)[t]) on the cohomology rings. We explicitly compute the action of U(\(sl_n\)[t]) generators using the trace functor. It turns out that the obtained current algebra module is related to another family of U(\(sl_n\)[t])-modules, called local Weyl modules. Using known results about the cohomology rings, we are able to provide a new proof of the character formula for the local Weyl modules. Finally, we apply the trace functor to the Bao-Shan-Wang-Webster [2] categorification \(U^J\) of the coideal subalgebra of quantized \(sl_2n+1\). We compute the trace of the 2-category \(U^J\) in this thesis. We define a new algebra, called the current coideal algebra, and we show that Tr\(U^J\) is homomorphic to the current coideal algebra.

M. Khovanov and A. Lauda [35] definieren eine 2-Kategorie U, so dass die geteilte Grothendieck-Gruppe \(K_0\)(U) zu einer integralen Version der universellen einhüllenden Algebra U(\(sl_n\)), n ≥ 2 isomorph ist. Die Spur Tr ist eine Alternative zu dem De-kategorisierungsfunktor, normalerweise gegeben durch \(K_0\). Wir berechnen TrU mithilfe der diagrammatischen Präsentation von U. Wir finden einen graduierten Algebra-Homomorphismus zwischen TrU und der Stromalgebra U(sln[t]), welche die universelle einh üllende Algebra der Lie-Algebra U(\(sl_n\) ⊗ C[t]) ist. Kürzlich wurde in [5] bewiesen, dass dieser Homomorphismus sogar einen Isomorphismus darstellt. Somit hat TrU eine reichere Struktur als \(K_0\)(U) = U(\(sl_n\)). Eine 2-Darstellung ist eine Kategorisierung des Begriffs der Darstellung. Insbesondere ist eine 2-Darstellung von U ein 2-Funktor aus U in eine lineare, additive 2-Kategorie. Unser nächstes Ergebnis stellt einen Rahmen dar, um aus einer beliebigen 2-Darstellung ein Stromalgebra-Modul zu erhalten. Wir interessieren uns für die 2-Darstellung, definierte von Khovanov-Lauda durch Bimoduln über Kohomologien der Fahnenmannigfaltigkeiten. Diese 2-Darstellung induziert eine Wirking der Stromalgebra U(\(sl_n\)[t])) auf die Kohomologieringe. Wir berechnen die explizite Stromalgebrawirkung durch den Spurfunktor. Es wird festgestellt, dass der erhaltene Stromalgebramodul sich auf eine andere Familie von U(\(sl_n\)[t])-Moduln bezieht, bekannt als lokale Weyl-Moduln. Mithilfe bekannter Ergebnisse geben wir einen neuen Beweis der Charakterformeln von lokalen Weyl-Moduln. Schliesslich wenden wir den Spurfunktor auf die Bao-Shan-Wang-Webster Kategorisierung [2] \(U^J\) der koidealen Unteralgebra der quantisierten Lie-Algebra \(sl_2n+1\) an. Wir berechnen die Spur der 2-Kategorie \(U^J\) in dieser Arbeit. Wir definieren eine neue Algebra, als koideale Stromalgebra genannt, und wir zeigen, dass Tr\(U^J\) homomorph zu der koidealen Stromalgebra ist.

Statistics

Downloads

38 downloads since deposited on 13 Dec 2019
26 downloads since 12 months
Detailed statistics

Additional indexing

Item Type:Dissertation (monographical)
Referees:Beliakova Anna, Féray Valentin, Kresch Andrew
Communities & Collections:07 Faculty of Science > Institute of Mathematics
UZH Dissertations
Dewey Decimal Classification:510 Mathematics
Language:English
Place of Publication:Zürich
Date:2017
Deposited On:13 Dec 2019 15:10
Last Modified:07 Apr 2020 07:20
Number of Pages:110
OA Status:Green

Download

Green Open Access

Download PDF  'Trace functor and categorified quantum sln'.
Preview
Content: Published Version
Language: English
Filetype: PDF
Size: 810kB