Coisotropic submanifolds and the BFV-complex

Abstract

Koisotrope Untermannigfaltigkeiten bilden eine wichtige Klasse von Unterobjekten in Poisson Mannigfaltigkeiten. In dieser Dissertation werden jeder koisotrope Untermannigfaltigkeit zwei algebraische Strukturen zuge- ordnet und deren Eigenschaften untersucht. Zunächst wird die Konstruktion des ”homotopy Lie algebroid” erläutert. Hierbei folgen wir Oh und Park beziehungsweise Cattaneo und Felder. Die Invarianz des ”homotopy Lie algebroid” wird bewiesen. Dieses Resultat basiert auf einer gemeinsamen Arbeit mit Cattaneo. Dann wird der BFV-Komplex eingeführt. Dabei geben wir eine neue, konzeptuelle Konstruktion der BFV-Klammer. Anschliessend wird die Ab- hängigkeit des BFV-Komplexes von gewissen Wahlen geklärt. Ausserdem wird ein L∞ Quasi-Isomorphismus zwischen dem ”homotopy Lie algberoid” und dem BFV-Komplex konstruiert. Schlussendlich stellen wir eine Verbindung zwischen dem BFV-Komplex und der lokalen Deformationstheorie koisotroper Untermannigfaltigkeiten her. Es stellt sich heraus, dass man mit Hilfe des BFV-Komplexes ein Groupoid konstruieren kann, welches zum Deformationsgroupoid der koisotropen Untermannigfaltigkeit isomorph ist.

Coisotropic submanifolds form an important class of subobjects of Poisson manifolds. In this thesis two algebraic structures associated to coisotropic submanifolds are constructed and their properties are investigated. First we explain the construction of the homotopy Lie algebroid – following Oh, Park and Cattaneo, Felder, respectively. The invariance of the homotopy Lie algberoid is established. This part of the thesis relies on joint work with Cattaneo. Next the BFV-complex is introduced. To this end we give a new conceptual construction of the BFV-bracket. The dependence of the BFV-complex on certain input data is clarified. Moreover an L∞ quasi-isomorphism be- tween the homotopy Lie algebroid and the BFV-complex is constructed. Finally we connect the BFV-complex with the local deformation theory of coisotropic submanifolds. It turns out that the BFV-complex allows to construct a groupoid which is isomorphic to the deformation groupoid of the coisotropic submanifold.