Abstract
This thesis looks at two different problems in probability theory. The first part of the thesis treats the problem of characterizing the law of the largest eigenvalue in the generalized Cauchy random matrix ensemble. The generalized Cauchy random matrix ensemble is an ensemble of Hermitian matrices with a weight that can be viewed as a generalization of the standard Cauchy probability distribution. Forrester and Witte describe the law of the largest eigenvalue of a matrix in such an ensemble of finite size N ×N in earlier work (Nonlinearity, 13 1965-1986, 2000 and Nagoya Math. J., 174 29-114, 2004). They obtain a characterization of this law in terms of a Painleve-VI equation using the theory of τ -functions. We show that under a restriction on the involved parameters, the same result can be obtained via the famous formalism of Tracy and Widom (Comm. Math. Phys., 163 33-72, 1994). Then, we show that when the largest eigenvalue is appropriately scaled, this law converges pointwise to a limiting law when the size of the ensemble tends to infinity. The limit law can be interpreted as the law of the largest point in a determinantal point process on the real line described by Borodin and Olshanski (Comm. Math. Phys., 223 87-123, 2001). We also characterize the limit law in terms of a Painleve-V equation and give a sense to the convergence of the corresponding Painleve-VI equation for the finite case to the former equation when N . Finally, we also show that the pointwise convergence of the law is of order N−1. The techniques we use to obtain the convergence results are completely elementary. They essentially involve checking pointwise convergence and domination of all quantities involved in the corresponding Fredholm determinants in order to apply dominated convergence. In the second part of the thesis we deal with the asymptotic behavior of the perturbed weakly self-avoiding walk. The weakly self-avoiding walk is a random walk on Zd where self- intersections are penalized by a factor 1−λ, λ > 0 a small parameter and the dimension d ≥ 9 (respectively d ≥ 5 in the symmetric case). We use the lace expansion to show that when starting the walk with a distribution which is a small perturbation of the standard nearest neighbor distribution 1 1{x:IIxII=1}, a local central limit Theorem holds with exponential error decay and a correction of order n−d/2 near the mean of the walk. Our main Theorem in this part is in fact a more general central limit Theorem for convolution equations similar to the one given by the weakly self-avoiding walk. The lace expansion has been introduced by Brydges and Spencer (Comm. Math. Phys., 97 125-148, 1985). Most approaches to the lace expansion use Fourier methods. We however use the Banach fixed point Theorem for an appropriately chosen space and operator to show that the limiting density of the weakly self-avoiding walk is stable under small perturbations and close to a normal density. Our method is based on earlier work for the symmetric (standard) weakly self-avoiding walk by Ritzmann (PhD thesis, Universität Zürich, 2001). With this method we can work directly in Zd and obtain the central limit Theorem in a more transparent way than with Fourier methods. Moreover, we can directly estimate the lace expansion diagrams via the connectivities of the walk.
Diese Dissertation befasst sich mit zwei verschiedene Problemen aus der Wahrscheinlichkeitstheorie. Im ersten Teil wird die Verteilung des grössten Eigenwertes im verallgemeinerten Cauchy Zufallsmatrizenensemble beschrieben. Das verallgemeinerte Cauchy Ensemble ist die Menge der Hermiteschen Matrizen mit einer verallgemeinerten Cauchy-Verteilung. Forrester und Witte beschreiben die Verteilung des grössten Eigenwertes einer solchen Matrix endlicher Grösse N × N (Nonlinearity, 13 1965-1986, 2000 und Nagoya Math. J., 174 29-114, 2004). Sie charakterisieren diese mit Hilfe von τ -Funktionen als Funktion der Lösung einer Painleve-VI Gleichung. Wir zeigen, dass man unter einer kleinen Einschränkung für die involvierten Parameter dasselbe Resultat über die berühmte Methode von Tracy und Widom (Comm. Math. Phys., 163 33-72, 1994) herleiten kann. Weiter zeigen wir, dass diese Verteilung punktweise zu einer Grenzverteilung konvergiert, wenn die Grösse des Ensembles nach Unendlich strebt und der grösste Eigenwert richtig skaliert wird. Die Grenzverteilung interpretieren wir als Verteilung des grössten Punktes in einem von Borodin und Olshanski (Comm. Math. Phys., 223 87-123, 2001) eingeführten determinanten Punktprozess auf R. Wir charakterisieren diese Grenzverteilung mit Hilfe der Lösung einer Painleve-V Gleichung und geben der Konvergenz der entsprechenden Painleve-VI Gleichung für den endlichen Fall zu der letztgenannten Gleichung für N → ∞ einen mathematischen Sinn. Schliesslich zeigen wir auch, dass die punkweise Konvergenz der Verteilung von der Ordnung N−1 ist. Um die Konvergenzresultate zu zeigen benützen wir nur elementare Techniken. Im Wesentlichen prüfen wir die punkweise Konvergenz und geben obere Schranken für alle in den entsprechenden Fredholm-Determinanten involvierten Grössen. Dann benützen wir den Satz der majorisiteren Konvergenz. Im zweiten Teil betrachten wir das asymptotische Verhalten der gestörten schwach selbst- abstossenden Irrfahrt. Die schwach selbst-abstossende Irrfahrt ist eine Irrfahrt auf Zd bei der Selbstüberschneidungen durch einen Faktor 1 − λ bestraft werden, wobei λ > 0 ein kleiner Parameter ist und die Dimension d mindestens 9 ist (beziehungsweise 5 im sym- metrischen Fall). Wir benützen die "Lace-Expansion" um zu zeigen, dass wir einen lokalen zentralen Grenzwertsatz mit exponentiellem Fehlerabfall und einer Korrektur von der Ordnung n−d/2 nahe des Mittelwerts der Irrfahrt erhalten, falls wir mit einer leichten Störung der üblichen symmetrischen nächsten Nachbarn-Verteilung 1 1{x:IIxII=1} starten. Unser zentrales Theorem in diesem Teil ist eigentlich allgemeiner und gilt für alle Faltungsgleichungen die in gewisser Weise ähnlich sind zu der Gleichung der schwach selbst-abstossenden Irrfahrt. Die Lace-Expansion wurde von Brydges und Spencer (Comm. Math. Phys., 97 125-148, 1985) eingeführt. Meistens wird die Lace-Expansion zusammen mit Fourier Methoden verwendet. Wir benützen jedoch den Banachschen Fixpunktsatz auf einem geeigneten Raum mit einem geeigneten Operator, um zu zeigen, dass die Grenzdichte der schwach selbstabstossenden Irrfahrt nahe bei der Dichte der Normalveteilung liegt und zudem stabil unter kleinen Störungen ist. Unsere Technik basiert auf einer Arbeit von Ritzmann (PhD thesis, Universität Zürich, 2001). Dank dieser Technik können wir direkt in Zd arbeiten und erhalten so den lokalen zentralen Grenzwertsatz in einer tranparenteren Art und Weise als mit Fourier Methoden. Ein weiterer Vorteil ist, dass die Diagramme der Lace-Expansion direkt duch die zwei-Punkte Funktion der Irrfahrt abgeschätzt werden können.
Rubin, Felix