Spatial asymptotic behavior of elliptic equations and variational inequalities

Abstract

In dieser Arbeit untersuchen wir das räumliche asymptotische Verhalten von Lösungen elliptischer partieller Differentialgleichungen und Variationsungleichungen. Wir betrachten zwei Probleme. Erstens, a priori Fehlerabschätzungen der Finite-Elemente-Methode für elliptische partielle Differentialgleichungen zweiter Ordnung. Zweitens, das asymptotische Verhalten von Lösungen elliptischer Variationsungleichungen mit punktweiser Beschränkung des Wertes der Lösung und deren Gradient in zylindrischen Bereichen. Das erste Kapitel ist eine allgemeine Einführung in räumlich asymptotisches Verhalten und in die historische Erforschung dieses Problems. Das zweite Kapitel enthält eine Publikation [CY08] mit Michel Chipot über das asymptotische Verhalten von elliptischen Gleichungen zweiter Ordnung in Zylindern mittels einer Iterationsmethode. Im dritten Kapitel verallgemeinern wir die Iterationsmethode für eine grosse Klasse von Gleichungen auf Bereiche mit fast beliebiger Geometrie. Das ist eine Verallgemeinerung der Arbeiten [CY08] und [OY77]. Dann passen wir die Iterationsmethode an, um lokale a priori Fehlerabschätzungen der Finite Elemente Approximation von elliptischen Neumann und Dirichlet Randwertprobleme zweiter Ordnung zu erhalten. Dieses Resultat zeigt, wie man ein Gitter um einen Bereich verfeinert, in dem man an der Lösung interessiert ist. Diese Art von Abschätzungen wurde in [W91] studiert. Im vierten Kapitel führen wir elliptische Variationsungleichungen in Zylindern mit punktweiser Beschränkung des Wertes der Lösung und deren Gradient ein. Spezielle Formen dieses Problems werden “ellastic-plastic torsion” Probleme genannt. Im selben Kapitel betrachten wir das asymptotische Verhalten einer einzelnen Lösung. Wir zeigen, dass das asymptotische Verhalten hauptsächlich von den Randwerten an den Enden des Zylinders abhängt. Im fünften Kapitel studieren wir das asymptotische Verhalten der Differenz zweier Lösungen in dem Fall, wenn die angewandte Kraft entweder periodisch oder konstant in Richtung des Zylinders ist.

In this thesis the spatial asymptotic behavior of the solutions to elliptic partial differential equations and variational inequalities is studied. We consider two problems. First, a priori error estimates of the finite element method for the elliptic second order partial differential equations and second, the asymptotic behavior of solutions to elliptic variational inequalities with pointwise constraint on the value of the solution and its gradient in cylindrical domains, are studied. The first chapter is a general introduction to spatial asymptotic behavior estimates and the history of the problem. The second chapter contains a published note [CY08] which was a joint work with Michel Chipot and is about the asymptotic behavior of second order elliptic equations in cylinders by an iteration technique. In the third chapter first we generalize the iteration technique by which we may obtain the asymptotic estimate for a large class of equations to domains of rather general geometry, this is a generalization of the works [CY08] and [OY77], then we adapt the iteration technique to obtain a priori local error estimates of finite element approximation to elliptic second order Neumann and Dirichlet boundary value problems. These results show how one may a priori grade the mesh around a region of interest. This kinds of estimates have been studied in [W91]. In the forth chapter we introduce the elliptic variational inequalities in cylinders with a pointwise constraint on the value of the function and its gradient. Special forms of these problems are called elastic-plastic torsion problems. In the same chapter we consider the asymptotic behavior of a single solution. We show that the asymptotic behavior is depending mainly on the boundary data at the ends of the cylinder. In the fifth chapter we study the asymptotic behavior of the difference of two solutions in the case when the applied force is either periodic in the lateral direction of the cylinder or is defined in the cross section of the cylinder.