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Spatial asymptotic behavior of elliptic equations and variational inequalities


Yeressian Negarchi, Karen; Negarchi, Karen Yeressian. Spatial asymptotic behavior of elliptic equations and variational inequalities. 2011, University of Zurich, Faculty of Science.

Abstract

In dieser Arbeit untersuchen wir das r¨umliche asymptotische Verhalten von a L¨sungen elliptischer partieller Differentialgleichungen und Variationsungleichun- o gen. Wir betrachten zwei Probleme. Erstens, a priori Fehlerabsch¨tzungen der a Finite-Elemente-Methode f¨r elliptische partielle Differentialgleichungen zweiter u Ordnung. Zweitens, das asymptotische Verhalten von L¨sungen elliptischer Vari- o ationsungleichungen mit punktweiser Beschr¨nkung des Wertes der L¨sung und a o deren Gradient in zylindrischen Bereichen. Das erste Kapitel ist eine allgemeine Einf¨hrung in r¨umlich asymptotisches u a Verhalten und in die historische Erforschung dieses Problems. Das zweite Kapitel enth¨lt eine Publikation [CY08] mit Michel Chipot uber das a ¨ asymptotische Verhalten von elliptischen Gleichungen zweiter Ordnung in Zylindern mittels einer Iterationsmethode. Im dritten Kapitel verallgemeinern wir die Iterationsmethode f¨r eine grosse u Klasse von Gleichungen auf Bereiche mit fast beliebiger Geometrie. Das ist eine Verallgemeinerung der Arbeiten [CY08] und [OY77]. Dann passen wir die It- erationsmethode an, um lokale a priori Fehlerabsch¨tzungen der Finite Elemente a Approximation von elliptischen Neumann und Dirichlet Randwertprobleme zweiter Ordnung zu erhalten. Dieses Resultat zeigt, wie man ein Gitter um einen Bereich verfeinert, in dem man an der L¨sung interessiert ist. Diese Art von Absch¨tzungen o a wurde in [W91] studiert. Im vierten Kapitel f¨hren wir elliptische Variationsungleichungen in Zylin- u dern mit punktweiser Beschr¨nkung des Wertes der L¨sung und deren Gradient a o ein. Spezielle Formen dieses Problems werden “ellastic-plastic torsion” Probleme genannt. Im selben Kapitel betrachten wir das asymptotische Verhalten einer einzelnen L¨sung. Wir zeigen, dass das asymptotische Verhalten haupts¨chlich o a von den Randwerten an den Enden des Zylinders abh¨ngt. a Im f¨nften Kapitel studieren wir das asymptotische Verhalten der Differenz u zweier L¨sungen in dem Fall, wenn die angewandte Kraft entweder periodisch oder o konstant in Richtung des Zylinders ist. In this thesis the spatial asymptotic behavior of the solutions to elliptic partial differential equations and variational inequalities is studied. We consider two problems. First, a priori error estimates of the finite element method for the elliptic second order partial differential equations and second, the asymptotic behavior of solutions to elliptic variational inequalities with pointwise constraint on the value of the solution and its gradient in cylindrical domains, are studied. The first chapter is a general introduction to spatial asymptotic behavior esti- mates and the history of the problem. The second chapter contains a published note [CY08] which was a joint work with Michel Chipot and is about the asymptotic behavior of second order elliptic equations in cylinders by an iteration technique. In the third chapter first we generalize the iteration technique by which we may obtain the asymptotic estimate for a large class of equations to domains of rather general geometry, this is a generalization of the works [CY08] and [OY77], then we adapt the iteration technique to obtain a priori local error estimates of finite element approximation to elliptic second order Neumann and Dirichlet boundary value problems. These results show how one may a priori grade the mesh around a region of interest. This kinds of estimates have been studied in [W91]. In the forth chapter we introduce the elliptic variational inequalities in cylinders with a pointwise constraint on the value of the function and its gradient. Special forms of these problems are called elastic-plastic torsion problems. In the same chapter we consider the asymptotic behavior of a single solution. We show that the asymptotic behavior is depending mainly on the boundary data at the ends of the cylinder. In the fifth chapter we study the asymptotic behavior of the difference of two solutions in the case when the applied force is either periodic in the lateral direction of the cylinder or is defined in the cross section of the cylinder. Bibliography

[CY08] Chipot, M.; Yeressian, K., Exponential rates of convergence by an iteration technique. C. R. Math. Acad. Sci. Paris 346 (2008), no. 1-2, 21–26. [OY77] Oleinik, O. A.; Yosifian, G. A., Boundary value problems for second order elliptic equa- tions in unbounded domains and Saint-Venant’s principle. Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. (4) 4 (1977), no. 2, 269–290. [W91] Wahlbin L.B., Local behavior in finite element methods; in Handbook of Numerical Analysis (Ciarlet P.G. and Lions J.L., eds.), vol. II (part 1), North Holland, 1991, pp. 353-522.

Abstract

In dieser Arbeit untersuchen wir das r¨umliche asymptotische Verhalten von a L¨sungen elliptischer partieller Differentialgleichungen und Variationsungleichun- o gen. Wir betrachten zwei Probleme. Erstens, a priori Fehlerabsch¨tzungen der a Finite-Elemente-Methode f¨r elliptische partielle Differentialgleichungen zweiter u Ordnung. Zweitens, das asymptotische Verhalten von L¨sungen elliptischer Vari- o ationsungleichungen mit punktweiser Beschr¨nkung des Wertes der L¨sung und a o deren Gradient in zylindrischen Bereichen. Das erste Kapitel ist eine allgemeine Einf¨hrung in r¨umlich asymptotisches u a Verhalten und in die historische Erforschung dieses Problems. Das zweite Kapitel enth¨lt eine Publikation [CY08] mit Michel Chipot uber das a ¨ asymptotische Verhalten von elliptischen Gleichungen zweiter Ordnung in Zylindern mittels einer Iterationsmethode. Im dritten Kapitel verallgemeinern wir die Iterationsmethode f¨r eine grosse u Klasse von Gleichungen auf Bereiche mit fast beliebiger Geometrie. Das ist eine Verallgemeinerung der Arbeiten [CY08] und [OY77]. Dann passen wir die It- erationsmethode an, um lokale a priori Fehlerabsch¨tzungen der Finite Elemente a Approximation von elliptischen Neumann und Dirichlet Randwertprobleme zweiter Ordnung zu erhalten. Dieses Resultat zeigt, wie man ein Gitter um einen Bereich verfeinert, in dem man an der L¨sung interessiert ist. Diese Art von Absch¨tzungen o a wurde in [W91] studiert. Im vierten Kapitel f¨hren wir elliptische Variationsungleichungen in Zylin- u dern mit punktweiser Beschr¨nkung des Wertes der L¨sung und deren Gradient a o ein. Spezielle Formen dieses Problems werden “ellastic-plastic torsion” Probleme genannt. Im selben Kapitel betrachten wir das asymptotische Verhalten einer einzelnen L¨sung. Wir zeigen, dass das asymptotische Verhalten haupts¨chlich o a von den Randwerten an den Enden des Zylinders abh¨ngt. a Im f¨nften Kapitel studieren wir das asymptotische Verhalten der Differenz u zweier L¨sungen in dem Fall, wenn die angewandte Kraft entweder periodisch oder o konstant in Richtung des Zylinders ist. In this thesis the spatial asymptotic behavior of the solutions to elliptic partial differential equations and variational inequalities is studied. We consider two problems. First, a priori error estimates of the finite element method for the elliptic second order partial differential equations and second, the asymptotic behavior of solutions to elliptic variational inequalities with pointwise constraint on the value of the solution and its gradient in cylindrical domains, are studied. The first chapter is a general introduction to spatial asymptotic behavior esti- mates and the history of the problem. The second chapter contains a published note [CY08] which was a joint work with Michel Chipot and is about the asymptotic behavior of second order elliptic equations in cylinders by an iteration technique. In the third chapter first we generalize the iteration technique by which we may obtain the asymptotic estimate for a large class of equations to domains of rather general geometry, this is a generalization of the works [CY08] and [OY77], then we adapt the iteration technique to obtain a priori local error estimates of finite element approximation to elliptic second order Neumann and Dirichlet boundary value problems. These results show how one may a priori grade the mesh around a region of interest. This kinds of estimates have been studied in [W91]. In the forth chapter we introduce the elliptic variational inequalities in cylinders with a pointwise constraint on the value of the function and its gradient. Special forms of these problems are called elastic-plastic torsion problems. In the same chapter we consider the asymptotic behavior of a single solution. We show that the asymptotic behavior is depending mainly on the boundary data at the ends of the cylinder. In the fifth chapter we study the asymptotic behavior of the difference of two solutions in the case when the applied force is either periodic in the lateral direction of the cylinder or is defined in the cross section of the cylinder. Bibliography

[CY08] Chipot, M.; Yeressian, K., Exponential rates of convergence by an iteration technique. C. R. Math. Acad. Sci. Paris 346 (2008), no. 1-2, 21–26. [OY77] Oleinik, O. A.; Yosifian, G. A., Boundary value problems for second order elliptic equa- tions in unbounded domains and Saint-Venant’s principle. Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. (4) 4 (1977), no. 2, 269–290. [W91] Wahlbin L.B., Local behavior in finite element methods; in Handbook of Numerical Analysis (Ciarlet P.G. and Lions J.L., eds.), vol. II (part 1), North Holland, 1991, pp. 353-522.

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Item Type:Dissertation (monographical)
Referees:Chipot Michel, Sauter Stefan, Sauter Stephan
Communities & Collections:07 Faculty of Science > Institute of Mathematics
UZH Dissertations
Dewey Decimal Classification:510 Mathematics
Language:English
Place of Publication:Zürich
Date:2011
Deposited On:23 Dec 2010 16:16
Last Modified:24 Sep 2019 17:06
Publisher:s.n.
Number of Pages:68
OA Status:Green
Related URLs:https://www.recherche-portal.ch/primo-explore/fulldisplay?docid=ebi01_prod006438564&context=L&vid=ZAD&search_scope=default_scope&tab=default_tab&lang=de_DE (Library Catalogue)

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