Uniformly perfect boundaries of Gromov hyperbolic spaces

Abstract

For a Gromov hyperbolic space X there exists a boundary at infinity ∂∞ X. This boundary is equipped in a natural way with a quasi-metric with respect to a base point o ∈ X. Uniformly perfectness is a weaker condition than connectedness, but the two properties belong together. Let X be a geodesic, Gromov hyperbolic Space. In this thesis we show that there exists a quasi-isometric invariant criterion for the uniformly perfectness of ∂∞ X that can be applied to X. In the second part we proof that the property for a space to be uniformly perfect is invariant under a generalized involution.

Zusammenfassung
Zu einem Gromov-Hyperbolischen Raum X existiert der Rand im Unendlichen ∂∞ X. Diesem Rand können wir auf natürliche Art eine Quasimetrik in Abhängigkeit von einem Fusspunkt o ∈ X zuordnen. Uniform perfekt zu sein ist schwächer als Zusammenhang, aber die beiden Eigenschaften gehören zusammen. Sei X ein geodätischer Gromov-hyperbolischer Raum. In dieser Arbeit wird zuerst gezeigt, dass es ein quasi-Isometrie invariantes Kriterium für X gibt, an welchem wir erkennen, ob ∂∞ X uniform perfekt ist oder nicht. Im zweiten Teil wird bewiesen, dass die Eigenschaft für einen Raum uniform perfekt zu sein invariant ist unter einer verallgemeinerten Involution.