# Fold-type solution singularities and characteristic varieties of nonlinear PDEs

Bächtold, Michael Johannes. Fold-type solution singularities and characteristic varieties of nonlinear PDEs. 2009, University of Zurich, Faculty of Science.

## Abstract

Fold-type Solution Singularities and Characteristic Varieties of Nonlinear PDEs

Dissertation zur Erlangung der naturwissenschaftlichen Doktorw¨rde u (Dr. sc. nat.) vorgelegt der Mathematisch-naturwissenschaftlichen Fakult¨t a der Universit¨t Z¨rich a u von Michael Johannes B¨chtold a aus Schaﬀhausen

Promotionskomitee Prof. Dr. Alberto S. Cattaneo (Vorsitz) Prof. Dr. Alexandre M. Vinogradov

Z¨rich 2009 u Synopsis The concept of generalized (distribution) solutions has been of central importance for the development of the theory of linear PDEs, but it is commonly acknowledged to be inadequate for nonlinear PDEs. In the 70’s A. M. Vinogradov introduced a geometric analog of generalized solutions for (nonlinear) PDEs in the context of the geometric approach to PDEs. These solutions are certain smooth sub-manifolds of jet spaces which distinguish themselves from classical solutions in that they are not everywhere transversal to the projections to jets of lower order. The points where this transversality is lost are naturally interpreted as (geometric) singularities of the solution. Since its introduction there have only been a hand-full of works on geometric generalized solutions and their singularities, most of them by A.M. Vinogradov and V. Lychagin. It was nevertheless already observed that geometric generalized solutions are related to distribution solutions of linear PDE’s and several results were obtained indicating that the concept was a good generalization which could even give a reﬁned picture in the linear theory. In one of the last articles on the subject Vinogradov introduced the so called singularity equations associated to a PDE E. These are systems of nonlinear PDEs deduced from the equation E whose solutions describe the shape which geometric singularities of solutions of E can have. In this work we pick up the study of the singularity equations for the case of singularities of fold-type. We obtain general results which describe how the fold-type singularity equations behave under the process of prolongation of the original equation E. We show that from the point of view of the inﬁnite prolongation of the equation these fold-type singularity equations are fully described by the characteristics of the equations and how this allows to construct them for all prolongations of E. We also observe the existence of an additional structure on the singularity equations which in the case of scalar PDEs in two independent variables gives rise to an ODE which is a contact invariant of the original equation. One of our two main results states that the characteristics are actually intrinsic to the diﬃety and not only to the inﬁnitely prolonged equation. The second central result states that under coverings of diﬃeties the characteristics grow, and that for ﬁnite coverings characteristics coincide. This has several implications like the observation that generic equations of diﬀerent orders may not cover each other with ﬁnite coverings. Another result we obtain from our intrinsic approach to the characteristic variety of a nonlinear PDE is a necessary condition for the existence of an integrating ﬁeld of the PDE, which is a generalization of the method of characteristics as it is known for ﬁrst order scalar equations. In a ﬁnal section we describe more explicitly the geometric structure of fold-type singula- rity equations for all prolongations of hyperbolic and parabolic Monge-Ampere equations and compute them explicitly for the ﬁrst prolongation of the Monge-Ampere equation. Some minor results include a local classiﬁcation of the inﬁnite dimensional manifolds underlying diﬃeties as well as an intrinsic characterization of distributions which might appear as Cartan distributions of an inﬁnitely prolonged PDE. Zusammenfassung Das Konzept der verallgemeinerten (Distributions) L¨sungen ist von zentraler Bedeutung o in der Theorie linearer partieller Diﬀerentialgleichungen (PDEs), aber dessen Limitatio- nen f¨r die Theorie nichtlineare PDEs sind weit anerkannt. u In den 70er Jahren hat A. M. Vinogradov ein geometrisches Analog der verallgemeinerten L¨sungen im Kontext der geometrischen Theorie nichtlineare PDEs eingef¨hrt. Diese o u L¨sungen sind bestimmte glatte Untermannigfaltigkeiten in Jet R¨umen welche sich o a von den klassischen L¨sungen dadurch unterscheiden, dass sie an gewissen Stellen nicht o transversal zu den Projektionen auf tiefere Jet R¨ume sind. Diese Stellen lassen sich in a nat¨rlicher Weise als (geometrische) Singularit¨ten der L¨sung interpretieren. u a o Seit der Einf¨hrung des Begriﬀs sind erst eine kleine Anzahl an Arbeiten erschienen u welche sich mit geometrischen verallgemeinerten L¨sungen und dessen Singularit¨ten o a besch¨ftigen. Die meisten dieser Arbeiten stammen von A.M. Vinogradov und V. Lycha- a gin. Trotzdem wurde in diesen Arbeiten bereits bemerkt, dass geometrische verallgemei- nerte L¨sungen mit Distributions L¨sungen linearer PDEs verwandt sind. Ausserdem o o wurden mehrere Resultate erhalten, welche darauf hinweisen, dass der Begriﬀ eine an- gemessene Verallgemeinerung klassischer L¨sungen darstellt und selbst im Fall linearer o PDEs, ein verfeinertes Bild erm¨glicht. o In einen der letzten Artikel auf dem Gebiet hat A. M. Vinogradov die sogenannten Sin- gularit¨ten Gleichungen, welche einer PDE E zugeordnet werden, eingef¨hrt. Diese sind a u Systeme nichtlinearer PDEs, dessen L¨sungen die geometrische Form der Singularit¨ten o a der verallgemeinerten L¨sungen von E beschreiben. o In dieser Arbeit greifen wir das Studium der Singularit¨ten Gleichung f¨r den Fall von a u Falt-Singularit¨ten auf. Wir erhalten allgemeine Aussagen, welche diese Singularit¨ten a a Gleichungen f¨r die Verl¨ngerungen der Gleichung E beschreiben. Wir zeigen, dass aus u a Sicht der unendlichen Verl¨ngerung der Gleichung, diese Falt-Singularit¨ten-Gleichungen a a vollkommen durch die Charakteristiken der Gleichung E bestimmt werden. Wir beobachten desweiteren, die Existenz einer zus¨tzlichen Struktur auf den Singula- a rit¨ten Gleichungen, welche im Fall skalarer Gleichungen in zwei Ver¨nderlichen einer a a gew¨hnlichen Diﬀerenzialgleichung entsprechen, die eine Invariante der PDE unter Kon- o takt Transformationen darstellt. Eines der zwei zentralen Resultate sagt aus, dass die Charakteristiken tats¨chlich int- a rinsisch der Diﬃety zugeordnet sind und nicht nur der unendlichen Verl¨ngerung der a ¨ Gleichung. Das zweite wichtige Resultat sagt, dass unter Uberdeckungen von PDEs die ¨ Charakteristiken mehr werden und im Falle endlicher Uberdeckung gleich bleiben. Dies hat mehrere Konsequenzen. Eine dieser ist, dass es zwischen zwei generischen PDEs ¨ verschiedener Ordnung, keine endliche Uberdeckung geben kann. Ein weiteres Resultat, welches wir aus unserem intrinsischen Zugang zu den Charakte- ristiken erhalten, gibt eine notwendige Bedingung f¨r die Existenz eines integrierenden u Vektorﬂeds der PDE, was eine Verallgemeinerung der Methode der Charakteristiken f¨r u scalare PDEs erster Ordnung darstellt. In einem letzten Abschnitt beschreiben wir expliziter die geometrische Struktur der Singularit¨ten Gleichungen f¨r alle Verl¨ngerungen von hyperbolischer und parabolischer a u a Monge-Ampere Gleichungen und berechnen diese explizit f¨r die erste Verl¨ngerung. u a Einige kleinere Resultate sind eine lokale Klassiﬁzierung der unendlich dimensionalen Mannigfaltigkeiten welche Diﬃeties unterliegen, als auch eine intrinsische Charakterisie- rung von Distributionen, welche als Cartan Distributionen einer unendlich verl¨ngerten a PDE auftreten k¨nnen. o

## Abstract

Fold-type Solution Singularities and Characteristic Varieties of Nonlinear PDEs

Dissertation zur Erlangung der naturwissenschaftlichen Doktorw¨rde u (Dr. sc. nat.) vorgelegt der Mathematisch-naturwissenschaftlichen Fakult¨t a der Universit¨t Z¨rich a u von Michael Johannes B¨chtold a aus Schaﬀhausen

Promotionskomitee Prof. Dr. Alberto S. Cattaneo (Vorsitz) Prof. Dr. Alexandre M. Vinogradov

Z¨rich 2009 u Synopsis The concept of generalized (distribution) solutions has been of central importance for the development of the theory of linear PDEs, but it is commonly acknowledged to be inadequate for nonlinear PDEs. In the 70’s A. M. Vinogradov introduced a geometric analog of generalized solutions for (nonlinear) PDEs in the context of the geometric approach to PDEs. These solutions are certain smooth sub-manifolds of jet spaces which distinguish themselves from classical solutions in that they are not everywhere transversal to the projections to jets of lower order. The points where this transversality is lost are naturally interpreted as (geometric) singularities of the solution. Since its introduction there have only been a hand-full of works on geometric generalized solutions and their singularities, most of them by A.M. Vinogradov and V. Lychagin. It was nevertheless already observed that geometric generalized solutions are related to distribution solutions of linear PDE’s and several results were obtained indicating that the concept was a good generalization which could even give a reﬁned picture in the linear theory. In one of the last articles on the subject Vinogradov introduced the so called singularity equations associated to a PDE E. These are systems of nonlinear PDEs deduced from the equation E whose solutions describe the shape which geometric singularities of solutions of E can have. In this work we pick up the study of the singularity equations for the case of singularities of fold-type. We obtain general results which describe how the fold-type singularity equations behave under the process of prolongation of the original equation E. We show that from the point of view of the inﬁnite prolongation of the equation these fold-type singularity equations are fully described by the characteristics of the equations and how this allows to construct them for all prolongations of E. We also observe the existence of an additional structure on the singularity equations which in the case of scalar PDEs in two independent variables gives rise to an ODE which is a contact invariant of the original equation. One of our two main results states that the characteristics are actually intrinsic to the diﬃety and not only to the inﬁnitely prolonged equation. The second central result states that under coverings of diﬃeties the characteristics grow, and that for ﬁnite coverings characteristics coincide. This has several implications like the observation that generic equations of diﬀerent orders may not cover each other with ﬁnite coverings. Another result we obtain from our intrinsic approach to the characteristic variety of a nonlinear PDE is a necessary condition for the existence of an integrating ﬁeld of the PDE, which is a generalization of the method of characteristics as it is known for ﬁrst order scalar equations. In a ﬁnal section we describe more explicitly the geometric structure of fold-type singula- rity equations for all prolongations of hyperbolic and parabolic Monge-Ampere equations and compute them explicitly for the ﬁrst prolongation of the Monge-Ampere equation. Some minor results include a local classiﬁcation of the inﬁnite dimensional manifolds underlying diﬃeties as well as an intrinsic characterization of distributions which might appear as Cartan distributions of an inﬁnitely prolonged PDE. Zusammenfassung Das Konzept der verallgemeinerten (Distributions) L¨sungen ist von zentraler Bedeutung o in der Theorie linearer partieller Diﬀerentialgleichungen (PDEs), aber dessen Limitatio- nen f¨r die Theorie nichtlineare PDEs sind weit anerkannt. u In den 70er Jahren hat A. M. Vinogradov ein geometrisches Analog der verallgemeinerten L¨sungen im Kontext der geometrischen Theorie nichtlineare PDEs eingef¨hrt. Diese o u L¨sungen sind bestimmte glatte Untermannigfaltigkeiten in Jet R¨umen welche sich o a von den klassischen L¨sungen dadurch unterscheiden, dass sie an gewissen Stellen nicht o transversal zu den Projektionen auf tiefere Jet R¨ume sind. Diese Stellen lassen sich in a nat¨rlicher Weise als (geometrische) Singularit¨ten der L¨sung interpretieren. u a o Seit der Einf¨hrung des Begriﬀs sind erst eine kleine Anzahl an Arbeiten erschienen u welche sich mit geometrischen verallgemeinerten L¨sungen und dessen Singularit¨ten o a besch¨ftigen. Die meisten dieser Arbeiten stammen von A.M. Vinogradov und V. Lycha- a gin. Trotzdem wurde in diesen Arbeiten bereits bemerkt, dass geometrische verallgemei- nerte L¨sungen mit Distributions L¨sungen linearer PDEs verwandt sind. Ausserdem o o wurden mehrere Resultate erhalten, welche darauf hinweisen, dass der Begriﬀ eine an- gemessene Verallgemeinerung klassischer L¨sungen darstellt und selbst im Fall linearer o PDEs, ein verfeinertes Bild erm¨glicht. o In einen der letzten Artikel auf dem Gebiet hat A. M. Vinogradov die sogenannten Sin- gularit¨ten Gleichungen, welche einer PDE E zugeordnet werden, eingef¨hrt. Diese sind a u Systeme nichtlinearer PDEs, dessen L¨sungen die geometrische Form der Singularit¨ten o a der verallgemeinerten L¨sungen von E beschreiben. o In dieser Arbeit greifen wir das Studium der Singularit¨ten Gleichung f¨r den Fall von a u Falt-Singularit¨ten auf. Wir erhalten allgemeine Aussagen, welche diese Singularit¨ten a a Gleichungen f¨r die Verl¨ngerungen der Gleichung E beschreiben. Wir zeigen, dass aus u a Sicht der unendlichen Verl¨ngerung der Gleichung, diese Falt-Singularit¨ten-Gleichungen a a vollkommen durch die Charakteristiken der Gleichung E bestimmt werden. Wir beobachten desweiteren, die Existenz einer zus¨tzlichen Struktur auf den Singula- a rit¨ten Gleichungen, welche im Fall skalarer Gleichungen in zwei Ver¨nderlichen einer a a gew¨hnlichen Diﬀerenzialgleichung entsprechen, die eine Invariante der PDE unter Kon- o takt Transformationen darstellt. Eines der zwei zentralen Resultate sagt aus, dass die Charakteristiken tats¨chlich int- a rinsisch der Diﬃety zugeordnet sind und nicht nur der unendlichen Verl¨ngerung der a ¨ Gleichung. Das zweite wichtige Resultat sagt, dass unter Uberdeckungen von PDEs die ¨ Charakteristiken mehr werden und im Falle endlicher Uberdeckung gleich bleiben. Dies hat mehrere Konsequenzen. Eine dieser ist, dass es zwischen zwei generischen PDEs ¨ verschiedener Ordnung, keine endliche Uberdeckung geben kann. Ein weiteres Resultat, welches wir aus unserem intrinsischen Zugang zu den Charakte- ristiken erhalten, gibt eine notwendige Bedingung f¨r die Existenz eines integrierenden u Vektorﬂeds der PDE, was eine Verallgemeinerung der Methode der Charakteristiken f¨r u scalare PDEs erster Ordnung darstellt. In einem letzten Abschnitt beschreiben wir expliziter die geometrische Struktur der Singularit¨ten Gleichungen f¨r alle Verl¨ngerungen von hyperbolischer und parabolischer a u a Monge-Ampere Gleichungen und berechnen diese explizit f¨r die erste Verl¨ngerung. u a Einige kleinere Resultate sind eine lokale Klassiﬁzierung der unendlich dimensionalen Mannigfaltigkeiten welche Diﬃeties unterliegen, als auch eine intrinsische Charakterisie- rung von Distributionen, welche als Cartan Distributionen einer unendlich verl¨ngerten a PDE auftreten k¨nnen. o