Abstract
The concept of generalized (distribution) solutions has been of central importance for the development of the theory of linear PDEs, but it is commonly acknowledged to be inadequate for nonlinear PDEs. In the 70’s A. M. Vinogradov introduced a geometric analog of generalized solutions for (nonlinear) PDEs in the context of the geometric approach to PDEs. These solutions are certain smooth sub-manifolds of jet spaces which distinguish themselves from classical solutions in that they are not everywhere transversal to the projections to jets of lower order. The points where this transversality is lost are naturally interpreted as (geometric) singularities of the solution. Since its introduction, there have only been a hand-full of works on geometric generalized solutions and their singularities, most of them by A.M. Vinogradov and V. Lychagin. It was nevertheless already observed that geometric generalized solutions are related to distribution solutions of linear PDE’s and several results were obtained indicating that the concept was a good generalization which could even give a refined picture in the linear theory. In one of the last articles on the subject Vinogradov introduced the so-called singularity equations associated to a PDE E. These are systems of nonlinear PDEs deduced from equation E whose solutions describe the shape which geometric singularities of solutions of E can have. In this work we pick up the study of the singularity equations for the case of singularities of fold-type. We obtain general results which describe how the fold-type singularity equations behave under the process of prolongation of the original equation E. We show that from the point of view of the infinite prolongation of the equation these fold-type singularity equations are fully described by the characteristics of the equations and how this allows to construct them for all prolongations of E. We also observe the existence of an additional structure on the singularity equations which in the case of scalar PDEs in two independent variables gives rise to an ODE which is a contact invariant of the original equation. One of our two main results states that the characteristics are actually intrinsic to the diffiety and not only to the infinitely prolonged equation. The second central result states that under coverings of diffieties the characteristics grow, and that for finite coverings characteristics coincide. This has several implications like the observation that generic equations of different orders may not cover each other with finite coverings. Another result we obtain from our intrinsic approach to the characteristic variety of a nonlinear PDE is a necessary condition for the existence of an integrating field of the PDE, which is a generalization of the method of characteristics as it is known for first order scalar equations. In a final section we describe more explicitly the geometric structure of fold-type singularity equations for all prolongations of hyperbolic and parabolic Monge-Ampere equations and compute them explicitly for the first prolongation of the Monge-Ampere equation. Some minor results include a local classification of the infinite dimensional manifolds underlying diffieties as well as an intrinsic characterization of distributions which might appear as Cartan distributions of an infinitely prolonged PDE.
Zusammenfassung
Das Konzept der verallgemeinerten (Distributions) Lösungen ist von zentraler Bedeutung in der Theorie linearer partieller Differentialgleichungen (PDEs), aber dessen Limitationen für die Theorie nichtlineare PDEs sind weit anerkannt. In den 70er Jahren hat A. M. Vinogradov ein geometrisches Analog der verallgemeinerten Lösungen im Kontext der geometrischen Theorie nichtlineare PDEs eingeführt. Diese Lösungen sind bestimmte glatte Untermannigfaltigkeiten in Jet Räumen welche sich von den klassischen Lösungen dadurch unterscheiden, dass sie an gewissen Stellen nicht transversal zu den Projektionen auf tiefere Jet Räume sind. Diese Stellen lassen sich in natürlicher Weise als (geometrische) Singularitäten der Lösung interpretieren. Seit der Einführung des Begriffs sind erst eine kleine Anzahl an Arbeiten erschienen welche sich mit geometrischen verallgemeinerten Lösungen und dessen Singularitäten beschäftigen. Die meisten dieser Arbeiten stammen von A.M. Vinogradov und V. Lychagin. Trotzdem wurde in diesen Arbeiten bereits bemerkt, dass geometrische verallgemeinerte Lösungen mit Distributions Lösungen linearer PDEs verwandt sind. Ausserdem wurden mehrere Resultate erhalten, welche darauf hinweisen, dass der Begriff eine angemessene Verallgemeinerung klassischer Lösungen darstellt und selbst im Fall linearer PDEs, ein verfeinertes Bild ermöglicht. In einen der letzten Artikel auf dem Gebiet hat A. M. Vinogradov die sogenannten Singularitäten Gleichungen, welche einer PDE E zugeordnet werden, eingeführt. Diese sind Systeme nichtlinearer PDEs, dessen Lösungen die geometrische Form der Singularitäten der verallgemeinerten Lösungen von E beschreiben. In dieser Arbeit greifen wir das Studium der Singularitäten Gleichung für den Fall von Falt-Singularitäten auf. Wir erhalten allgemeine Aussagen, welche diese Singularitäten Gleichungen für die Verlängerungen der Gleichung E beschreiben. Wir zeigen, dass aus Sicht der unendlichen Verlängerung der Gleichung, diese Falt-Singularitäten-Gleichungen vollkommen durch die Charakteristiken der Gleichung E bestimmt werden. Wir beobachten desweiteren, die Existenz einer zusätzlichen Struktur auf den Singularitäten Gleichungen, welche im Fall skalarer Gleichungen in zwei Veränderlichen einer gewöhnlichen Differenzialgleichung entsprechen, die eine Invariante der PDE unter Kontakt Transformationen darstellt. Eines der zwei zentralen Resultate sagt aus, dass die Charakteristiken tatsächlich intrinsisch der Diffiety zugeordnet sind und nicht nur der unendlichen Verlängerung der Gleichung. Das zweite wichtige Resultat sagt, dass unter Überdeckungen von PDEs die Charakteristiken mehr werden und im Falle endlicher Überdeckung gleich bleiben. Dies hat mehrere Konsequenzen. Eine dieser ist, dass es zwischen zwei generischen PDEs verschiedener Ordnung, keine endliche Überdeckung geben kann. Ein weiteres Resultat, welches wir aus unserem intrinsischen Zugang zu den Charakteristiken erhalten, gibt eine notwendige Bedingung für die Existenz eines integrierenden Vektorfleds der PDE, was eine Verallgemeinerung der Methode der Charakteristiken für scalare PDEs erster Ordnung darstellt. In einem letzten Abschnitt beschreiben wir expliziter die geometrische Struktur der Singularitäten Gleichungen für alle Verlängerungen von hyperbolischer und parabolischer Monge-Ampere Gleichungen und berechnen diese explizit für die erste Verlängerung. Einige kleinere Resultate sind eine lokale Klassifizierung der unendlich dimensionalen Mannigfaltigkeiten welche Diffieties unterliegen, als auch eine intrinsische Charakterisierung von Distributionen, welche als Cartan Distributionen einer unendlich verlängerten PDE auftreten können.
Bächtold, Michael Johannes