Q-valued functions and approximation of minimal currents

Abstract

m letzen Jahrhundert wurden Flächen, die von minimalem Flächeninhalt sind, ausgibig untersucht. Solche Flächen waren entscheidend zum Verständinis einiger wichtiger Klassen von partiellen Differentialgleichungen sowie der Geometrie des Raumes bei. Ausgehend von klassischen Plateau-Problem betrachten wir Flächen von minimalem Flächeninhalt, die von einer gegebener Kurve berandet seien sollen, und gehen der Frage nach der Regularität solcher Flächen nach. Den Arbeiten von F. Almgren folgend versuchen wir solche Flächen lokal durch Graphen mehrwertiger Funktionen zu approximieren, wobei diese Funktionen einem geeigneten Variationsprinzip genügen sollen, und analysieren anschließend ihre Regularität.

Abstract
In the last century, the study of surfaces minimizing the area has been one of the main active research field in mathematical analysis and geometry, and the investigation of some of the properties of such surfaces contributed to the understanding of certain classes of partial differential equations and of the geometric properties of the space. Starting from the by now well-known Plateau’s problem, we consider the surfaces of minimal area spanning a given contour and question about their regularity. In particular, following the works of F. Almgren, we consider the problem of the local approximation of such surfaces through the graphs of multiple-valued functions satisfying an opportune variational principle and analyze the regularity properties of such functions.