Header

UZH-Logo

Maintenance Infos

Finiteness of leading monomial ideals and critical cones of characteristic varieties


Boldini, Roberto. Finiteness of leading monomial ideals and critical cones of characteristic varieties. 2012, University of Zurich, Faculty of Science.

Abstract

Diese Dissertation besteht aus zwei Teilen. Im ersten Teil geben wir einen in sich abgeschlossenen und einheitlichen Ansatz zu einigen Endlichkeitsergebnissen über Leitmonomideale von Idealen im Polynomring bezüglich verschiedener Typen von totalen Monomordnungen. Die Ergegnisse in diesem Teil sind weitgehend nicht neu und können in den Arbeiten anderer Autoren gefunden werden, entweder basierend auf verschiedenen Ansätzen oder angewandt auf verschiedene Kontexte. Wir verallgemeinern einen Teil dieser Resultate auf Vektorräume, die zum Polynomring isomorph sind, einen Teil auf die grosse Klasse der zulässigen Algebren, welche zumindest die Klasse der Algebren von auflösbarem Typ umfasst. In der Literatur werden Leitmonomideale meistens nur bezüglich Monoidordnungen von Nt0 mit t ∈ N studiert, weil diese Ordnungen eine ergebnisreiche Divisionstheorie induzieren. In diesem Rahmen stellt der Macaulay’sche Basissatz den Schlüssel zu den Endlichkeitsresultaten für Leitmonomideale dar. Wir betrachten Leitmonomideale bezüglich Totalordnungen, Gradordnungen, Halbgruppenordnungen, Monoidordnungen, und gradverträglicher Monoidordnungen. Es stellt sich heraus, dass ein Ideal im Polynomring höchstens endlich viele bezüglich der Inklusion minimale Leitmonomideale besitzt, die aus Totalordnungen stammen. Weiter besitzt ein Ideal höchstens endlich viele minimale Leitmonomideale bezüglich Gradordnungen. Durch Monoidordnungen induzierte Leitmonomideale sind wegen einer hier bewiesenen leicht verallgemeinerten
Version des Macaulay’schen Basissatzes minimal, und es folgt so, dass es nur endlich viele Leitmonomideale bezüglich Monoidordnungen zu einem gegebenen Ideal gibt. Anfangs hatten wir geplant, die Existenz von universellen Gröbnerbasen in zulässigen Algebren mithilfe der erwähnten Endlichkeitsresultate durch Nachahmung des klassischen Beweises im Polynomring zu zeigen. Das war unsere ursprüngliche Motivation, diese Endlichkeitseigenschaften zu untersuchen. In der Tat folgt aber die Existenz universeller Gröbnerbasen schon aus der Tatsache, dass die Totalordnungen auf einer gegebenen Menge einen kompakten topologischen Raum bilden und die zulässigen Algebren noethersch sind. Mit diesem Thema beenden wir den ersten Teil der vorliegenden Arbeit. Der zweite und innovative Teil dieser Dissertation stellt den Inhalt unseres Artikels [13] dar, welcher im Dezember 2010 zur Publikation in den Transactions of the American
Mathematical Society angenommen worden ist. Hier widmen wir uns den charakteristischen Varietäten von Moduln über Weylalgebren. Diese affinen Variet¨aten werden mit gewichteten Gradfiltrierungen eines endlich erzeugten Moduls über einer Weilalgebra konstruiert. Zun¨achst erinnern wir also einige Tatsachen über filtrierte Moduln und deren assoziierte graduierte Moduln. Für filtrierte Moduln über filtrierten kommutativen Ringen zeigen wir, dass der Annullator des assoziierten graduierten Moduls radikalgleich ist zum assoziierten graduierten Ideal des filtrierten Annullators. Ein klassischer Satz von Bernstein besagt, dass die einem gegebenen Modul zugehörigen charakteristischen Varietäten nach dem Grad und nach der Ordnung die gleiche Krulldimension haben. In der Tat haben alle charakteristischen Varietäten eines Moduls die gleiche Krulldimension. Dies wird üblicherweise durch homologische Methoden gezeigt. Wir betten den erwähnten Dimensionssatz in den grösseren Zusammenhang einer Deformationstheorie von gewichteten Gradfiltrierungen und Monomordnungen ein. Unser deformationstheoretischer Ansatz wendet universelle Gröbnerbasen an, und die erwähnte Dimensionsgleichheit folgt als Korollar aus einem tieferen Resultat. Charakteristische Varietäten zeigen nämlich ein bemerkenswertes Verhalten, wenn man ihre definierenden Filtrierungen durch gewisse Adjustierungen der Gewichtung deformiert. Genauer wird eine charakteristische Varietät durch solche Deformationen in ihren eigenen kritischen Kegel übergeführt. Dies erlaubt, eine nichtendliche Filtrierung so zu deformieren, dass die entstehende Filtrierung endlich wird und die zu ihr assoziierte charakteristische Variet¨at gerade der kritische
Kegel der ursprünglichen Varietät ist. Daraus folgt die Dimensionsgleichheit. Ein Grund hierfür ist, dass eine affine Variet¨at die gleiche Krulldimension wie ihr kritischer Kegel hat. Ein weiterer Grund ist, dass die Krull- und die GK-Dimension eines endlich erzeugten Moduls über einer endlich erzeugten kommutativen K-Algebra übereinstimmen. Ein dritter Grund ist, dass die GK-Dimension eines endlich filtrierten Moduls beim Übergang zum assoziierten graduierten Modul erhalten bleibt. Unser Resultat stellt auch einen ersten Schritt zur Klassifikation der charakteristischen Varietäten dar. Wir waren aber nicht in der Lage, eine solche Klassifikation in voller Allgemeinheit durchzuführen. Wir haben uns deshalb auf charakteristische Varietäten von zyklischen Moduln über der ersten Weylalgebra beschränkt und eine approximierte Klassifikation durch ein Computerexperiment berechnet. Das Experiment zeigt, dass der Gewichtsraum N20 r{(0, 0)} der Gradfiltrierungen in halbkegelförmige Gebiete unterteilt werden kann, welche jeweils zur selben charakteristische Varietät führen. Auf Grund dieses Experiments können wir auch eine obere Schranke für die Anzahl dieser charakteristischen Varietäten in Termen von Totalgraden der Elemente einer universellen Gröbnerbasis vermuten. Im Hinblick auf eine Arbeit von Aschenbrenner und Leykin [2] kann diese obere Schranke auch in Termen von Totalgraden von Erzeugern des Ideals angegeben werden, das den gegebenen zyklichen Modul definiert. Wir beenden den zweiten Teil mit einem Resultat von Skoda über die Lokalisierung von filtrierten Moduln. Mithilfe eines leichten Lemmas können wir Skodas Ergebnis eine geometrische Interpretation in unserem Kontext geben. Im ersten Anhang geben wir einen direkteren Beweis der Existenz von universellen Gröbnerbasen in Weylalgebren basierend auf den Divisionseigenschaften dieser Algebren
und auf der Kompaktheit des topologischen Raums der Monoidordnungen. Im zweiten Anhang listen wir das Computerprogramm auf, das wir für das erw¨ahnte
Experiment geschrieben haben.

Abstract

Diese Dissertation besteht aus zwei Teilen. Im ersten Teil geben wir einen in sich abgeschlossenen und einheitlichen Ansatz zu einigen Endlichkeitsergebnissen über Leitmonomideale von Idealen im Polynomring bezüglich verschiedener Typen von totalen Monomordnungen. Die Ergegnisse in diesem Teil sind weitgehend nicht neu und können in den Arbeiten anderer Autoren gefunden werden, entweder basierend auf verschiedenen Ansätzen oder angewandt auf verschiedene Kontexte. Wir verallgemeinern einen Teil dieser Resultate auf Vektorräume, die zum Polynomring isomorph sind, einen Teil auf die grosse Klasse der zulässigen Algebren, welche zumindest die Klasse der Algebren von auflösbarem Typ umfasst. In der Literatur werden Leitmonomideale meistens nur bezüglich Monoidordnungen von Nt0 mit t ∈ N studiert, weil diese Ordnungen eine ergebnisreiche Divisionstheorie induzieren. In diesem Rahmen stellt der Macaulay’sche Basissatz den Schlüssel zu den Endlichkeitsresultaten für Leitmonomideale dar. Wir betrachten Leitmonomideale bezüglich Totalordnungen, Gradordnungen, Halbgruppenordnungen, Monoidordnungen, und gradverträglicher Monoidordnungen. Es stellt sich heraus, dass ein Ideal im Polynomring höchstens endlich viele bezüglich der Inklusion minimale Leitmonomideale besitzt, die aus Totalordnungen stammen. Weiter besitzt ein Ideal höchstens endlich viele minimale Leitmonomideale bezüglich Gradordnungen. Durch Monoidordnungen induzierte Leitmonomideale sind wegen einer hier bewiesenen leicht verallgemeinerten
Version des Macaulay’schen Basissatzes minimal, und es folgt so, dass es nur endlich viele Leitmonomideale bezüglich Monoidordnungen zu einem gegebenen Ideal gibt. Anfangs hatten wir geplant, die Existenz von universellen Gröbnerbasen in zulässigen Algebren mithilfe der erwähnten Endlichkeitsresultate durch Nachahmung des klassischen Beweises im Polynomring zu zeigen. Das war unsere ursprüngliche Motivation, diese Endlichkeitseigenschaften zu untersuchen. In der Tat folgt aber die Existenz universeller Gröbnerbasen schon aus der Tatsache, dass die Totalordnungen auf einer gegebenen Menge einen kompakten topologischen Raum bilden und die zulässigen Algebren noethersch sind. Mit diesem Thema beenden wir den ersten Teil der vorliegenden Arbeit. Der zweite und innovative Teil dieser Dissertation stellt den Inhalt unseres Artikels [13] dar, welcher im Dezember 2010 zur Publikation in den Transactions of the American
Mathematical Society angenommen worden ist. Hier widmen wir uns den charakteristischen Varietäten von Moduln über Weylalgebren. Diese affinen Variet¨aten werden mit gewichteten Gradfiltrierungen eines endlich erzeugten Moduls über einer Weilalgebra konstruiert. Zun¨achst erinnern wir also einige Tatsachen über filtrierte Moduln und deren assoziierte graduierte Moduln. Für filtrierte Moduln über filtrierten kommutativen Ringen zeigen wir, dass der Annullator des assoziierten graduierten Moduls radikalgleich ist zum assoziierten graduierten Ideal des filtrierten Annullators. Ein klassischer Satz von Bernstein besagt, dass die einem gegebenen Modul zugehörigen charakteristischen Varietäten nach dem Grad und nach der Ordnung die gleiche Krulldimension haben. In der Tat haben alle charakteristischen Varietäten eines Moduls die gleiche Krulldimension. Dies wird üblicherweise durch homologische Methoden gezeigt. Wir betten den erwähnten Dimensionssatz in den grösseren Zusammenhang einer Deformationstheorie von gewichteten Gradfiltrierungen und Monomordnungen ein. Unser deformationstheoretischer Ansatz wendet universelle Gröbnerbasen an, und die erwähnte Dimensionsgleichheit folgt als Korollar aus einem tieferen Resultat. Charakteristische Varietäten zeigen nämlich ein bemerkenswertes Verhalten, wenn man ihre definierenden Filtrierungen durch gewisse Adjustierungen der Gewichtung deformiert. Genauer wird eine charakteristische Varietät durch solche Deformationen in ihren eigenen kritischen Kegel übergeführt. Dies erlaubt, eine nichtendliche Filtrierung so zu deformieren, dass die entstehende Filtrierung endlich wird und die zu ihr assoziierte charakteristische Variet¨at gerade der kritische
Kegel der ursprünglichen Varietät ist. Daraus folgt die Dimensionsgleichheit. Ein Grund hierfür ist, dass eine affine Variet¨at die gleiche Krulldimension wie ihr kritischer Kegel hat. Ein weiterer Grund ist, dass die Krull- und die GK-Dimension eines endlich erzeugten Moduls über einer endlich erzeugten kommutativen K-Algebra übereinstimmen. Ein dritter Grund ist, dass die GK-Dimension eines endlich filtrierten Moduls beim Übergang zum assoziierten graduierten Modul erhalten bleibt. Unser Resultat stellt auch einen ersten Schritt zur Klassifikation der charakteristischen Varietäten dar. Wir waren aber nicht in der Lage, eine solche Klassifikation in voller Allgemeinheit durchzuführen. Wir haben uns deshalb auf charakteristische Varietäten von zyklischen Moduln über der ersten Weylalgebra beschränkt und eine approximierte Klassifikation durch ein Computerexperiment berechnet. Das Experiment zeigt, dass der Gewichtsraum N20 r{(0, 0)} der Gradfiltrierungen in halbkegelförmige Gebiete unterteilt werden kann, welche jeweils zur selben charakteristische Varietät führen. Auf Grund dieses Experiments können wir auch eine obere Schranke für die Anzahl dieser charakteristischen Varietäten in Termen von Totalgraden der Elemente einer universellen Gröbnerbasis vermuten. Im Hinblick auf eine Arbeit von Aschenbrenner und Leykin [2] kann diese obere Schranke auch in Termen von Totalgraden von Erzeugern des Ideals angegeben werden, das den gegebenen zyklichen Modul definiert. Wir beenden den zweiten Teil mit einem Resultat von Skoda über die Lokalisierung von filtrierten Moduln. Mithilfe eines leichten Lemmas können wir Skodas Ergebnis eine geometrische Interpretation in unserem Kontext geben. Im ersten Anhang geben wir einen direkteren Beweis der Existenz von universellen Gröbnerbasen in Weylalgebren basierend auf den Divisionseigenschaften dieser Algebren
und auf der Kompaktheit des topologischen Raums der Monoidordnungen. Im zweiten Anhang listen wir das Computerprogramm auf, das wir für das erw¨ahnte
Experiment geschrieben haben.

Statistics

Downloads

111 downloads since deposited on 17 Aug 2012
9 downloads since 12 months
Detailed statistics

Additional indexing

Item Type:Dissertation (monographical)
Referees:Brodmann Markus, Ayoub Joseph, Rosenthal Joachim
Communities & Collections:07 Faculty of Science > Institute of Mathematics
UZH Dissertations
Dewey Decimal Classification:510 Mathematics
Language:English
Place of Publication:Zürich
Date:2012
Deposited On:17 Aug 2012 09:09
Last Modified:07 Apr 2020 06:32
Publisher:s.n.
Number of Pages:82
OA Status:Green
Related URLs:https://www.recherche-portal.ch/permalink/f/5u2s2l/ebi01_prod007325926 (Library Catalogue)

Download

Green Open Access

Download PDF  'Finiteness of leading monomial ideals and critical cones of characteristic varieties'.
Preview
Content: Published Version
Language: English
Filetype: PDF
Size: 627kB