On morphic actions and integrability of LA-groupoids

Abstract

Im letzten Jahrzehnt hat sich die Lie-Theorie insbesondere aufgrund ihrer Wichtigkeit für die Integration von Lie Algebroiden nach Lie Gruppoiden, einerseits, und von Poisson Mannigfaltigkeiten nach symplektischen Gruppoiden, andererseits, enorm weiterentwickelt. Arbeiten von Mackenzie-Xu, Moerdijk-Mrcun, Cattaneo-Felder und Crainic-Fernandes haben diese Entwicklung unter anderem entscheidend beeinflusst. In der vorliegenden Dissertation interessieren wir uns diesbezüglich für den kategorientheoretischen Aspekt der Integration von LA-Gruppoiden (nämlich von Gruppoid-Objekten in der Kategorie der Lie Algebroide) nach doppelten Lie Gruppoiden (nämlich von Gruppoid-Objekten in der Kategorie der Lie Gruppoide). Hier erhalten wir hinreichende Bedingungen für die Integration. Mackenzies doppelte Lie-Strukturen entstehen dabei ganz natürlich aus Hochhebungsprozessen, wie der kotangentialen Hochebung oder der Pfad-Prolongation auf gewöhnlichen Lie-theoretischen oder Poisson-geometrischen Strukturen. Mit ihrer Hilfe werden wir die Integrabilität der Quotienten-Poisson-Bivektorfelder, die Beziehung zwischen lokaler und globaler Dualität der Poisson-Gruppoide sowie die Lie-Theorie der Lie-Bialgebroide und der Poisson-Gruppoide untersuchen. Im ersten Kapitel beweisen wir gewisse Varianten des ersten und zweiten Satzes von Lie über Lie-Bialgebroide, d.h. , über die Integrabilität von Unterobjekten (den ko-isotropischen Unteralgebroiden) und ihren Morphismen. Hier verallgemeinern wir frühere Resultate von Cattaneo und Xu. Im zweiten Kapitel entwickeln wir unseren funktorialen Ansatz zur Integration der LA-Gruppoide. Hier erhalten wir positive Teilergebnisse zur von Weinstein vorgeschlagenen Integration der Poisson-Gruppoide nach doppelten symplektischen Gruppoiden. Der Untersuchung der sogenannten morphischen Wirkungen, also Gruppoid-Wirkungen in der Kategorie der Lie Algebroide und der Lie Grupppoide, widmen wir uns im dritten Kapitel. Hier erhalten wir Reduktions- und Integrabilitätsresultate und wir gehen die Aufgabe an, Quotienten von Poisson-Mannigfaltigkeiten in Bezug auf Wirkungen von Poisson-Gruppoiden zu integrieren. Tatsächlich erhalten wir durch die Anwendung geeigneter Varianten des Marsden-Weinstein-Reduktions-Verfahrens zwei Ansätze zur Integration der Quotienten von Poisson-Bivektorfeldern. Der erste Ansatz, eine Art von Integration durch doppelte symplektische Gruppoide, ist nicht immer erfolgreich. Dennoch gibt er im speziellen Fall der Wirkungen von Lie-Gruppen Fernendes-Ortega-Ratius Symplektisierungsfunktor-Ansatz wieder. Dieser Ansatz wurde schon zuvor von uns erfolgreich im speziellen Fall der Wirkungen von Poisson-Gruppen angewendet. Der zweite Ansatz basiert schliesslich auf einer kotangentialen Hochhebung der Wirkung und ihrer Pfad-Prolongation nach einer Wirkung auf geeigneten Räumen von Lie-Algebroid-Homotopien. Über ihn erhalten wir notwendige sowie hinreichende Integrabilitätsbedingungen, womit wir unter kanonischen Voraussetzungen das Integrationsproblem vollständig lösen.

Abstract
Lie theory for the integration of Lie algebroids to Lie groupoids, on the one hand, and of Poisson manifolds to symplectic groupoids, on the other, has undergone tremendous developments in the last decade, thanks to the work of Mackenzie-Xu, Moerdijk-Mrcun, Cattaneo-Felder and Crainic-Fernandes, among others. In this thesis we study - part of - the categorified version of this story, namely the integrability of LA-groupoids (groupoid objects in the category of Lie algebroids), to double Lie groupoids (groupoid objects in the category of Lie groupoids) providing a first set of sufficient conditions for the integration to be possible. Mackenzie’s double Lie structures arise naturally from lifting processes, such as the cotangent lift or the path prolongation, on ordinary Lie theoretic and Poisson geometric objects and we use them to study the integrability of quotient Poisson bivector fields, the relation between “local” and “global” duality of Poisson groupoids and Lie theory for Lie bialgebroids and Poisson groupoids. In the first Chapter we prove suitable versions of Lie’s 1-st and 2-nd theorem for Lie bialgebroids, that is, the integrability of subobjects (coisotropic subalgebroids) and morphisms, extending earlier results by Cattaneo and Xu, obtained using different techniques. We develop our functorial approach to the integration of LA-groupoids in the second Chapter, where we also obtain partial results, within the program, proposed by Weinstein, for the integration of Poisson groupoids to symplectic double groupoids. The task of integrating quotients of Poisson manifolds with respect to Poisson groupoid actions motivates the study we undertake in third Chapter of what we refer to as morphic actions, i.e. groupoid actions in the categories of Lie algebroids and Lie groupoids, where we obtain general reduction and integrability results. In fact, applying suitable procedures à la Marsden-Weinstein zero level reduction to “moment morphisms”, respectively of Lie bialgebroids or Poisson groupoids, canonically associated to a Poisson G-space, we derive two approaches to the integration of the quotient Poisson bivector fields. The first, a kind of integration via symplectic double groupoids, is not always effective but reproduces the “symplectization functor” approach to Poisson actions of Lie groups, very recently developed by Fernandes-Ortega-Ratiu, from quite a different perspective. We earlier implemented this approach successfully in the special case of complete Poisson groups. The second approach, relying both on a cotangent lift of the Poisson G-space and on a prolongation of the original action to action on suitable spaces of Lie algebroid homotopies, produces necessary and sufficient integrability conditions for the integration and gives a positive answer to the integrability problem under the most natural assumptions.