Spherical surface parameterization and its application to geometric morphometric analysis of the braincase

Abstract

The quantitative comparison of the form of the endocast, which is the internal surface of the braincase, is a central issue in paleoanthropology (i.e., the study of human evolution based on fossil evidence). The major difficulty is that there are only few anatomical locations (so-called landmarks) defining biological correspondence between individual endocasts. Such point homologies, however, are the basis of the most powerful methods of morphometric analysis, the geometric morphometric toolbox. As a consequence, methods of geometric morphometrics are only of limited use in the analysis of endocranial form, and the morphometric analysis of such three-dimensional surfaces, which are poor in landmarks, is an open and lively discussed problem. In a quite different field, computer graphics, the parameterization of a surface embedded in the space $\mathbb{R}^3$ is a well-known problem. For that purpose, the surface is mapped to a two-dimensional parameter domain such as the plane or the sphere. The parameterization of a triangulated surface is a basic step in many applications in the area of geometry processing such as texture mapping, morphing, remeshing and data compression. Conformal, i.e., angle-preserving parameterizations, represents a special case. This thesis uses these techniques and methods to propose a new approach to the problem of quantitative comparison of endocranial surfaces with only few point homologies. For this purpose, concepts from geometric morphometrics are fused with concepts from computer graphics. Triangulated endocranial surfaces are conformally mapped to the unit sphere. The resulting spherical parameterizations are calibrated according to user-defined biological constraints. The result is a consistent coordinate system: a position on the unit sphere corresponds to a biologically homologous position on each surface in the sample. The sphere is a well-known, two-dimensional domain, and spherical functions can be expanded into a series of spherical harmonic functions. Thereby, a three-dimensional Fourier descriptor is produced, which permits shape analysis in frequency space. The integration of the new surface representations into the software MorphoTools permits the various statistical analyses, scientific visualization of the results and comparison with classic geometric morphometric methods. To test the new method, neurocrania of humans and great apes (gorillas, chimpanzees and bonobos) are analyzed.

Der quantitative Vergleich der Form des Neuroendocraniums (Innenfläche des Hirnschädels; “Endocast”; Endocranium) ist ein zentrales Problem in der Paläoanthropologie (d.h. der Erforschung der menschlichen Evolution anhand fossiler Funde). Das Hauptproblem dabei ist, dass es nur wenige anatomische Fixpunkte (sog. Landmarken) auf dem Neurocranium gibt, die biologische Übereinstimmung zwischen individuellen Neurocrania definieren. Die leistungsstärksten Methoden der Geometrischen Morphometrie basieren allerdings auf solchen Punkthomologien und können deshalb nicht, oder nur bedingt, angewendet werden. Die biologische Analyse solcher dreidimensionalen Oberflächen, die arm an Landmarken sind, ist ein Problem, für das es bisher noch keine befriedigende Lösung gibt und das zurzeit rege diskutiert wird. In einem ganz anderen Forschungsgebiet, der Computergrafik, ist die Parametrisierung einer Fläche, die im Raum $\mathbb{R}^3$ eingebettet ist, ein wohlbekanntes Problem. Die Fläche wird dazu auf einen geeigneten zweidimensionalen Parameterraum, wie z.B. die Ebene oder die Sphäre, abgebildet. Die Parametrisierung einer triangulierten Oberfläche ist grundlegend für viele Anwendungen im Bereich Geometry-Processing, wie Texture Mapping, Morphing, Remeshing und Datenkompression. Ein Spezialfall sind konformale (d.h. winkeltreue) Abbildungen. Die vorliegende Arbeit befasst sich mit der Anwendung dieser Techniken und Methoden auf das Problem, Oberflächen mit nur wenigen Punkthomologien quantitativ und biologisch relevant zu vergleichen. Dazu werden Konzepte aus der Geometrischen Morphometrie und aus der Computergrafik verschmolzen. Triangulierte endocraniale Oberflächen werden konformal auf die Einheitssphäre abgebildet. Die sphärischen Parametrisierungen werden unter Einbezug von biologischen Bedingungen kalibriert. Das Resultat ist ein einheitliches Koordinatensystem: Eine bestimmte Position auf der Einheitskugel entspricht biologisch derselben Position auf jeder der zu vergleichenden Flächen. Die Sphäre ist eine wohlbekannte zweidimensionale Domäne, und sphärische Funktionen lassen sich in eine Reihe von sphärischen harmonischen Funktionen entwickeln. Dadurch wird ein dreidimensionaler Fourierdeskriptor erzeugt, der die Gestaltanalyse im Frequenzraum erlaubt. Die Einbindung der neuen Oberflächenrepräsentationen in die Software Morpho-Tools ermöglicht die Anwendung statistischer Analysen, wissenschaftliche Visualisierungen der Resultate sowie den Vergleich mit rein landmarkbasierten Methoden. Als Test für die neue Methode werden Neurocrania von Menschen und Menschenaffen (Gorillas, Schimpansen und Zwergschimpansen) analysiert.